注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

法治皇权唯法独尊

唵·心存宇宙生生不息演化唯法独尊物质不灭哈哈哈……

 
 
 

日志

 
 

希尔伯特空间  

2017-04-12 18:41:35|  分类: 默认分类 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

希尔伯特空间 - 妙宝居士 - 法治皇权唯法独尊

 

所属类别 :
其他数学相关

希尔伯特空间,n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是泛函分析的重要研究对象之一。尔伯特空间在分析数学的各个领域中有着深厚的根基,也是描述量子物理的基本工具之一。

折叠编辑本段正文信息

n维欧几里得空间的推广,可视为“无限维的欧几里得空间”,是希尔伯特空间希尔伯特空间

内积还有重要的施瓦兹不等式:希尔伯特空间希尔伯特空间

正交与勾股定理 在希尔伯特空间H中,如果xy满足(x,y)=0,就称xy正交(或直交),记为xy。当xy时,成立勾股定理:希尔伯特空间希尔伯特空间

。如果xH的子集M中任何元都正交,就称xM正交,记为xM。与M正交的所有元素的集合记为M寑。

投影定理希尔伯特空间理论中的一个基本定理。设M是希尔伯特空间H的凸闭子集,则对H中每个向量x,必存在M中惟一的y,使得希尔伯特空间希尔伯特空间

。这个性质称为变分定理。特别,当MH的闭线性子空间时,zx-y必与M正交,即对于闭线性子空间M,分解x=y+z不仅惟一,而且zy。这就是投影定理。其中,y称为xM中的投影(分量)。因为xM上的投影y是达到极值希尔伯特空间希尔伯特空间

的惟一解,所以这个结果不仅在理论研究中,而且在很多应用性科学,如近似理论(包括有限元方法)、预测理论、最优化等多方面均有着广泛的应用。

正交系 设{ek}是内积空间H中一族彼此不同的向量,如果其中任何两个向量都正交,即当kj时,(ekej)=0,则称{ek}是一正交系;如果其中每个向量的范数又都是1,即对一切k,(ek,ek)=1,则称{ek}是就范正交系。对于希尔伯特空间H的就范正交系{ek},如果包含{ek}的最小闭子空间就是H,就称{ek}为H的完备就范正交系。设{ek}是就范正交系,则H中任一向量xek方向的投影,即x在{ek}生成的一维子空间上的投影,就是(x,ek)ek;而x在{ek}生成的闭子空间M上的投影就是希尔伯特空间希尔伯特空间

。显然有希尔伯特空间希尔伯特空间

,即向量 x在某个子空间M上的分量“长度”永不超过x的长度,它称为贝塞尔不等式。如果{ek}是完备就范正交系,那么成立着希尔伯特空间希尔伯特空间

(傅里叶展式),

希尔伯特空间希尔伯特空间

(帕舍伐尔等式)。

傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。

泛函表示定理 希尔伯特空间H 上每个连续线性泛函F,对应于惟一的yH,使F(x)=(x,y),并且希尔伯特空间希尔伯特空间

,这就是里斯的连续线性泛函表示定理。因此,希尔伯特空间的共轭空间与自身(保持范数不变地)同构(实际上是一种共轭线性同构),即HH。这个结果在希尔伯特空间算子理论中具有很重要的作用。

  评论这张
 
阅读(16)| 评论(0)
推荐

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017